Радиотехнические расчеты начинающим: RC-фильтры

категория

Расчеты по радиотехнике

материалы в категории

В. ПОЛЯКОВ
Радио, 2003 год, № 2

Сегодня мы рассмотрим частотно-избирательные или селективные цепи, которые обладают фильтрующим действием, т. е. сигналы с одними частотами пропускают лучше, с другими — хуже. Иногда такое свойство цепей вредно, например, в высококачественных усилителях звуковой частоты, где стремятся получить максимально широкую полосу пропускания. А иногда полезно, скажем, в радиоприемниках, когда из массы сигналов радиостанций, работающих на различных частотах, нужно выделить сигнал одной-единственной, вещающей на известной вам частоте.

Фильтрующие цепи (фильтры) обязательно должны содержать реактивные элементы — емкости и/или индуктивности, поскольку активное сопротивление резисторов от частоты не зависит (в идеальном случае). Реально же всегда имеются паразитные емкости и индуктивности (монтажа, выводов, р-n переходов и т. д.), поэтому практически любая цепь оказывается в той или иной степени фильтром, т. е. ее параметры зависят от частоты. Сначала рассмотрим простейшие RC-цепочки.

На рис. 28,а показана схема простейшего фильтра нижних частот (ФНЧ), пропускающего низкие и ослабляющего высокие частоты. Коэффициентом передачи называется отношение К = Uвых/Uвх (точнее, это модуль, или абсолютная величина коэффициента передачи). Рассчитаем его, пользуясь известными нам уже сведениями о цепях переменного тока. Ток в цепи составляет:

а выходное напряжение равно падению напряжения на конденсаторе С:

Подставляя ток, находим

Коэффициент передачи получился комплексным. Это означает, что выходное напряжение фильтра сдвинуто по фазе относительно входного. Чтобы подчеркнуть комплексный характер К, его часто обозначают как K(jω). Найдем модуль (абсолютное значение) и аугмент (фазу) К

И модуль, и фаза коэффициента передачи зависят от частоты, или, как говорят, являются функциями частоты. Отрицательный знак у аргумента указывает на отставание фазы выходного сигнала от фазы входного. Если построить их графики, получатся амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики фильтра(АЧХ и ФЧХ), показанные на рис. 28,6 и в соответственно.

Действует фильтр следующим образом. На самых низких частотах емкостное сопротивление конденсатора велико и сигнал практически без ослабления передается со входа на выход через сопротивление R. По мере повышения частоты емкостное сопротивление падает и цепочка работает как делитель напряжения. На частоте среза ωс емкостное сопротивление равно активному, a ωcRC = 1. Однако модуль К не равен 1/2, как было бы в случае активных сопротивлений, а составляет 1/V2 = 0,7, как это видно из векторной диаграммы напряжений (рис. 28,г). Фазовый сдвиг, вносимый цепочкой на частоте среза, составляет 45° — на столько фаза выходного сигнала отстает от фазы входного. При дальнейшем повышении частоты модуль коэффициента передачи падает пропорционально частоте, а фазовый сдвиг стремится к -90°.

Нередко для упрощения расчетов вводят обозначения RC = τ. (постоянная времени цепочки), ωRC = ω/ωс = х (обобщенная частота). Коэффициент передачи в этих обозначениях записывается совсем просто:

Вернуться к прежним обозначениям целесообразно лишь после завершения всех выкладок.

В нашем анализе мы молчаливо предположили, что цепочка питается от генератора с весьма малым внутренним сопротивлением, а ее выход ни чем не нагружен. В действительности источник сигнала всегда имеет некоторое внутреннее сопротивление R1, и если оно активное, его надо просто прибавить к R. Аналогично, если нагрузка обладает емкостью Сн, ее надо просто добавить к С. Если нагрузка имеет активное сопротивление RH, то модуль К уже на самых низких частотах, где влиянием емкости можно пренебречь, будет меньше единицы и составит (считаем просто по закону Ома) RH/(R + RH). Частота среза также сдвинется выше и составит, как легко сосчитать описанным выше образом, уже не

где R' — сопротивление, получающееся при параллельном соединении R и Rн.

Вот пример практического применения изложенных сведений. Видеоусилитель телевизора должен пропускать полосу частот 6 МГц, а работает он на емкостную нагрузку, состоящую из выходной емкости транзистора Св, емкости монтажа См и междуэлектродной емкости управляющей сетки кинескопа Ск (рис. 29,а). Их сумму можно оценить каким-либо измерителем емкости (конечно, при выключенном телевизоре!) или по справочным данным. Пусть она составила 25 пф — это и будет емкость рассматриваемой RC-цепочки. Сопротивление R цепочки получается при параллельном соединении внутреннего сопротивления транзистора (генератора сигнала) и сопротивления нагрузки Rн. Первое можно найти по коллекторным характеристикам транзистора, взяв небольшое приращение ΔUк вблизи рабочего коллекторного напряжения Uк и найдя соответствующее приращение тока ΔIк

Обычно внутреннее сопротивление намного больше сопротивления нагрузки, тогда можно считать R = Rн.

Найдем допустимое сопротивление нагрузки исходя из завала АЧХ до 0,7 (на 3 дБ) на частоте 6 МГц. Угловая частота среза составит

(округляем). Поскольку RC = 1 /ωс,

Естественно, нам хотелось бы выбрать сопротивление нагрузки побольше, что увеличит усиление и уменьшит потребляемый транзистором ток, но сделать этого нельзя по причине завала верхних частот видеоспектра, что приведет к потере четкости изображения.

Ради интереса продолжим расчет. Пусть на сетку кинескопа надо подавать сигнал амплитудой до 50 В, тогда ток транзистора должен составлять 50 мА. На сопротивлении нагрузки упадет также 50 В, напряжение источника питания должно быть не менее 100 В, а на резисторе нагрузки выделится мощность 50 В - 50 мА = 2,5 Вт. Такая же мощность будет рассеиваться и на транзисторе. Нагрузочная характеристика для этого случая показана на рис. 29,6 вместе с эпюрами напряжения и тока (которые в телевидении, надо заметить, редко бывают синусоидальными). Теперь должно быть понятно, почему выходной каскад видеоусилителя выполняют на мощном транзисторе, а в нагрузке ставят мощный резистор, хотя никакой мощности по цепи управляющего электрода (сетки) кинескоп не потребляет.

Чтобы как-то улучшить ситуацию, придумано немало способов. Один из них состоит в коррекции АЧХ включением последовательно с нагрузкой катушки с небольшой индуктивностью (рис. 29,а), подобранной так, чтобы она резонировала с суммарной емкостью С где-то на частоте среза или несколько выше. Образовавшийся колебательный контур с очень низкой добротностью (не более 1...1.5) способствует подъему АЧХ вблизи частоты среза. На рис. 29,в сплошной линией показана АЧХ усилителя до коррекции, соответствующая АЧХ простой RC-цепочки, а штриховой — после включения индуктивности. Таким способом расширяют полосу пропускаемых частот в 1,5...2 раза, или во столько же раз повышают усиление и экономичность каскада.

Описанное сужение полосы пропускания сверху происходит в каждом усилительном каскаде, что надо учитывать при проектировании многокаскадных усилителей. Например, в случае двух одинаковых каскадов завал АЧХ в каждом должен быть не более 0,84(0,84² = 0,7), в случае трех — не более 0,89. Иногда, особенно в видеоусилителях, используют «маленькие хитрости»: предварительный каскад, в котором и междуэлектродные емкости, и размах выходного напряжения меньше, проектируют широкополосным, с подъемом АЧХ на верхних частотах, компенсирующим завал АЧХ в выходном каскаде.

Описанная цепочка (см. рис. 28,а) называется ФНЧ, когда рассматривают ее частотные характеристики, и она же называется интегрирующей, когда рассматривают прохождение импульсного сигнала. Пусть на входе цепочки действует перепад напряжения с коротким фронтом (рис. 30). Напряжение на выходе возрастет не сразу, поскольку конденсатору нужно время, чтобы зарядиться током, ограниченным резистором R.

Лишь в первый момент времени после воздействия перепада ток будет равен UBX/R, затем он будет уменьшаться по мере возрастания напряжения на конденсаторе. Составив дифференциальное уравнение для напряжения на выходе и решив его, можно установить, что

где е — основание натуральных логарифмов. За время τ = RC выходное напряжение возрастает примерно до 0,63 от значения входного и далее асимптотически приближается к нему. Таким образом, интегрирующая цепочка «заваливает» крутые фронты сигнала, чем, кстати, и объясняется снижение четкости телевизионного изображения.

Перейдем к фильтрам верхних частот (ФВЧ), простейший из которых (дифференцирующая RC-цепочка) показан на рис. 31 ,а. Коэффициент передачи теперь выражается так:

АЧХ цепочки показана на рис. 31 ,б. Формула для частоты среза остается прежней. ФЧХ тоже прежняя, но у ф меняется знак — фаза выходного сигнала опережает фазу входного. Она близка к 90° на самых низких частотах и приближается к нулю на высоких (график рис. 28,в достаточно сдвинуть вверх по оси φ на 90°). Собственно, все выражения для ФВЧ получаются из формул для ФНЧ при замене обобщенной частоты х на-1/х', чем очень часто и пользуются при расчете любых фильтров.

Импульсная характеристика цепочки показана на рис. 32. Она как бы обратна предыдущей — напряжение на выходе возрастает скачком, но затем падает по экспоненциальному закону в соответствии с выражением за время, равное постоянной времени цепочки т, оно уменьшается до 0,37 входного, за следующий интервал т — опять до 0,37 и так далее (кстати, это хорошее правило для вычерчивания экспонент — на каждое деление по горизонтали вертикальная координата кривой должна возрастать или уменьшаться на одинаковый процент).

Практически каждая межкаскадная разделительная RC-цепочка представляет собой описанный ФВЧ. Даже если сопротивление R в явном виде отсутствует, им является входное сопротивление каскада, включенного за разделительным конденсатором. Если еще учесть, что паразитная емкость на выходе каскада образует ФВЧ, то становится ясно, что любой усилительный каскад ограничивает полосу пропускаемых частот как снизу, так и сверху, т. е. является полосовым фильтром. У прямоугольных импульсов, проходящих через усилительный каскад, сглаживаются крутые фронты (действие ФНЧ) и заваливается вершина (действие ФВЧ).

Для увеличения фильтрующего действия RC-цепей включают их несколько, последовательно друг за другом, а чтобы исключить шунтирование цепочек следующими, разделяют их промежуточными каскадами усиления на транзисторах. Иногда с той же целью последующие цепочки выбирают с большим сопротивлением. Однако в любом случае АЧХ фильтров в районе частоты среза получаются весьма пологими.

Исправить ситуацию позволяют активные фильтры, в которых сам усилительный элемент (транзистор) служит элементом фильтра. На рис. 33 дана схема активного ФНЧ (Саллена-Ки). Активный элемент в нем должен иметь единичное усиление и не инвертировать сигнал. Дополнительно требуются высокое входное и низкое выходное сопротивления. Этим требованиям удовлетворяет эмиттерный (истоковый) повторитель на транзисторе либо (лучше) операционный усилитель, инвертирующий вход которого соединен с выходом. Резисторы обычно выбираются с одинаковым сопротивлением, а емкость конденсатора С2 — в 2...2,5 раза меньше емкости С1. Частота среза фильтра

Фильтр действует так. На частотах ниже частоты среза RC-цепочек выходное напряжение практически повторяет входное и конденсатор С1 выключен из работы, поскольку обе его обкладки имеют одинаковый потенциал. Сигнал передается без ослабления. По мере повышения частоты вступает в действие цепь RC2 и выходное напряжение уменьшается. Тогда вступает в действие и цепь RC1, еще больше ослабляя выходной сигнал. В результате формируется крутой спад АЧХ выше частоты среза.

Изменяя соотношение емкостей С1 и С2, можно получить гладкую и монотонно падающую АЧХ в пределах полосы пропускания (фильтр Баттерворта), а можно даже сформировать некоторый подъем перед частотой среза (фильтр Чебышева).

Сформировав такой подъем (кривая 1 на рис. 34), целесообразно добавить еще одно пассивное звено (кривая 2), которое скомпенсирует подъем и сделает скат АЧХ за частотой среза еще круче (кривая 3) — |К| будет уменьшаться в 8 раз при двукратном повышении частоты. Получится фильтр уже третьего порядка с крутизной ската 18 дБ на октаву. В качестве примера на рис. 35 дана схема такого ФНЧ с частотой среза 3 кГц. На другие частоты фильтр легко перестроить, изменив значения всех емкостей обратно пропорционально частоте. ФВЧ с аналогичными характеристиками получается, если поменять местами резисторы и конденсаторы и изменить соответственно их номиналы.

О порядке фильтров: он определяется числом реактивных элементов фильтра, и от порядка зависит крутизна ската АЧХ. Так, звенья первого порядка (рис. 28,а и 31,а) дают ослабление сигнала в 2 раза при двукратном изменении частоты (6 дБ/окт.), фильтр второго порядка (рис. 33) — в 4 раза (12 дБ/окт.), фильтр третьего порядка (рис. 35) — в 8 раз (18 дБ/окт.).

Задание на дом. Некоторый высококачественный (полоса 20 Гц...20 кГц) усилитель 3Ч имеет входное сопротивление 100 кОм, источник сигнала — такое же выходное сопротивление. Они соединены экранированным кабелем с погонной емкостью 100 пФ/м. Длина кабеля — 3,2 м. Кроме того, на входе усилителя включен разделительный конденсатор емкостью 0,01 мкФ. Правильно ли все сделано, какова на самом деле будет полоса частот и как надо поступить, чтобы исправить ситуацию?